Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
Solução:
Sejam (a₁, a₂, a₃, …) a PA de razão r e (g₁, g₂, g₃, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:
(1) a₁ = g₁ = 4
(2) a₃ > 0, g₃ > 0 e a₃ = g₃
(3) a₂ = g₂ + 2
Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:
(4) a₃ = a₁ + 2r e g₃ = g₁.q² => 4 + 2r = 4q²
(5) a₂ = a₁ + r e g₂ = g₁.q => 4 + r = 4q + 2
Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:

(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2

(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q² => 4 + 8q – 4 = 4q² => 4q² – 8q = 0

=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2

Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):

r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6

Para concluir calculamos a₃ e g₃:

a₃ = a₁ + 2r => a₃ = 4 + 12 = 16

g₃ = g₁.q² => g₃ = 4.4 = 16

Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:
a) [– 2, –1]
b) [– 1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]
Solução:
Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):
(1) -5n = 2 + 3n + r
(2) 1 – 4n = -5n + r
Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):

(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2

(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2

=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).


Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se a_n, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a₃₀ + a₅₅ é igual a:
a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62
Solução:
Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:
(1) a_i = a₁ + (i – 1).1 = a₁ + i – 1
Para determinar a₃₀ + a₅₅ precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:

• Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2;
• se n é par temos n = 2i ou i = n/2.

Daqui e de (1) obtemos que:

a_n = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar

a_n = 8 + (n/2) – 1 se n é par

Logo:

a₃₀ = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22

e

a₅₅ = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37

E portanto:

a₃₀ + a₅₅ = 22 + 37 = 59

Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que:
a) ac = b²
b) a + c = 2
c) a + c = b²
d) a = b = c
e) ac = 2b
Solução:
A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG de razão q é:
(1) b = a + r = aq => r = a(q – 1)
(2) c = b + r = bq => r = b(q – 1)
De (1) e (2) vem:

a(q – 1) = b(q – 1) => (a – b)(q – 1) = 0

Para que o produto seja igual a zero:

ou a – b = 0 ou q – 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas

Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também é verdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue que r = 0 e b = c = a.


Exercício 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:
a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3,999
e) 4
Solução:
Sejam S a soma dos elementos da sequência e S₁ a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10^-1 = 0,1. Assim:

S = 3 + S₁

Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S₁:

S₁ = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4